Programma del corso di analisi I, A.A.08/08 (mba-pic) Argomenti svolti Argomenti presi dal libro: Bertsch-Dal Passo "Elementi di Analisi Matematica I" Aracne Editrice (da pag. 13 a pag.31 e pagine 45,46) Definizione degli insiemi numerici (naturali, interi relativi, razionali) Esistenza degli irrazionali. Dimostrazione che radice di due non e' razionale. Definizione degli irrazionali come allineamenti decimali infiniti non periodici Definizione dei reali come l'insieme di tutti gli allineamenti decimali Propri (ossia non aventi periodo 9 se periodici). Dimostrazione della numerabilita' degli interi relativi e dei razionali. Dimostrazione della non-numerabilita' degli irrazionali (diagonale di Cantor) Dimostrazione della densita' dei razionali nei reali. I prossimi argomenti sono presi dal libro: P.Marcellini, C.Sbordone, "Elementi di Analisi Matematica uno, versione semplificata per i nuovi corsi di laurea" Liguori editore. Defizione di insieme limitato, Teorema di completezza (esistenza dell'estremo superiore, inferiore) senza dimostrazione. Funzioni elementari (lineari, potenze, esponenziali, logaritmi e trigonometriche) Definizione di limite di successione finito e infinito. Definizione della non esistenza del limite di una successione. Teoremi sui limiti (somma, prodotto, quoziente di limiti sia nel caso di limiti finiti sia nel caso in cui almeno uno dei limiti sia infinito in modulo). Le dimostrazioni date in aula riguardano la somma di successioni ed il prodotto. Dimostrazione della unicita' del limite, Dimostrazione del teorema a pag. 67, Dimostrazione dei teoremi e proposizioni alle pagine 71, 72 73 (tranne la prima di pag. 73). Tutto il contenuto delle pagine da 73 fino a 87 con esclusione del paragrafo 28. Conoscenza delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse. Pagine 91 fino a pag. 106. In particolare Definizione di continuità e classificazione delle discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue. Teorema della permanenza del segno e degli zeri con dimostrazione. Limiti di funzioni (definizioni); limiti notevoli lim(x->0) (ln(1+x))/x, lim(x->0) (a^x -1)/x, lim(x->0) (sin(x))/x, lim(x->0) (1-(cos(x))^2)/(x^2), lim(x->0) ((1+x)^a-1)/x Da pag. 106 a pag.117 tranne pag.107, ed il primo teorema a pag.108. Degli altri va fatta anche la dimostrazione. Teorema della monotonia di una funzione continua invertibile (con dimostrazione; dal Bertsch-Dalpasso teorema 4.7 pag. 170). Da pag. 117 a pag.140: definizione di derivata e suo significato geometrico. Operazioni con le derivate, derivata di una funzione composta, derivata dell'inversa di una funzione. Derivata delle funzioni elementari e delle loro inverse (trigonometriche comprese) tutte con dimostrazione. La dimostrazione della derivata della funzione composta e' presa dal Bertsch-Dalpasso pag.188 Vanno esclusi il paragrafo 39, il contenuto della pag.133 e la sua prosecuzione a pag.134. Teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange (tutti con dimostrazione). No la proposizione di pag. 143 criterio di monotonia basato sulla derivata (dimostrato). Teorema 5.10 e corollario 5.2 pag. 201 del Bertsch-Dal Passo Definizione di funzione concava e convessa attraverso la posizione relativa della retta tangente. Criterio di concavità o convessità (con dimostrazione) fino a pag. 152 paragrafo 50 escluso. Teoremi di L'Hopital (tutti i casi senza dimostrazione) Definizione di o-piccolo e relativa algebra. Definizione di polinomi di Taylor. Formula di Taylor a pag. 160 che a lezione e' stata chiamata anche formula di Peano. La stessa formula è ripresa a pag. 245. La dimostrazione di pag.160 e' fatta per funzioni aventi derivata n-esima continua. A pag. 246 la dimostrazione è per funzioni con derivata n-esima non necessariamente continua. La dimostrazione data nel libro di testo manca della parte concernente l'unicità che invece è stata dimostrata a lezione. La dimostrazione data a lezione è presa dal libro di Bertsch Dal Passo a pag. 213 Teorema 5.16. Teorema di Cauchy (con dimostrazione) a pag. 163 Da pag.244 a pag. 254 (paragrafo 80 compreso). La formula di Taylor con resto di Lagrange e' stata dimostrata secondo il libro Bertsch-Dal Passo (attraverso il teorema di Cauchy) e si trova a pag. 237 Da qui inizia il programma relativo alla seconda parte del corso. I numeri complessi. Rappresentazione algebrica (a+ib), trigonometrica r(cos(t) + isin(t)) ed esponenziale. Risoluzione di equazioni di secondo grado, di grado più elevato ma scomponibili, equazione z^n = w. Il materiale è stato preso da Bertsch-Dalpasso da pag.303 a pag. 311 con esclusione del Teorema 7.4. Integrazione. Da pag.203 (paragrafo 62) a pag. 237. Inoltre si sono dimostrati i teoremi:"una funzione monotona è integrabile" e "una funzione avente un punto di discontinuità" è integrabile. Una funzione continua su un intervallo [a,b] e' integrabile Integrali impropri (argomento preso da Bertsch Dalpasso fra le pagine 289 e 301 con tutte le dimostrazioni relative) Serie numeriche. da pag. 259 a pag.272 (parag. 87 escluso) del libro di testo con tutte le dimostrazioni relative Serie di Taylor. Da pag.275 (par.89) sino alla fine con le dimostrazione accluse. I prossimi argomenti sono presi dal libro: P.Marcellini, C.Sbordone, "Elementi di Analisi Matematica due, versione semplificata per i nuovi corsi di laurea" Liguori editore. Serie di potenze. La trattzione a lezione è quella del Bertsch-Dalpasso tra le pagine 337 e 346 con tutte le dimostrazioni. Sul Marcellini Sbordone (secondo volume) l'argomento è svolto tra pag.14 par.5 e pag.17 par.7(escluso). Equazioni differenziali: pagine 91 e 104 fino al paragrafo 24 escluso. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (Fine Argomenti svolti) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& Proprieta' della successioni e limiti notevoli compresi nei paragrafi 22, 23, 24, 25, 26, fra le pag. 72 e 84. Studio del limite della successione (1+(1/n))^n e quindi il numero e. Criterio del rapporto per le successioni; Limiti delle seguenti successioni (log_b n)/(n^b); (n^b)/(a^n); (a^n)/n!; (n!)/(n^n); Teorema di Weierstrass (esistenza si massimo e minimo per una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, Teorema dei valori intermedi (assunzione di tutti i valori compresi fra minimo e massimo). Teoremi sulla invertibilità delle funzioni continue definite su un intervallo e sulla continuità della funzione inversa Teorema di eistenza del limite per una funzione monotona (con dimostrazione) Teorema della monotonia di una funzione continua invertibile (con dimostrazione; dal Bertsch-Dalpasso). Teorema di Fermat (dimostrato), di Rolle, di Lagrange, criterio di monotonia basato sulla derivata (dimostrato). Teorema 5.10 e Corollario 5.2 del Bertsch-Dal Passo. Definizione di funzione concava e convessa attraverso la posizione relativa della retta tangente. Criterio di concavità o convessità (con dimostrazione). Teoremi di L'Hopital (tutti i casi) Definizione di o-piccolo e relativa algebra. Definizione di polinomi di Taylor. Formula di Taylor a pag. 160. La stessa formula è ripresa a pag. 240. La dimostrazione di pag.160 e' fatta per funzioni aventi derivata A pag. 244 la dimostrazione è per funzioni con derivata n-esima non necessariamente continua. La dimostrazione data nel libro di testo manca della parte concernente l'unicità che invece è stata dimostrata a lezione. La dimostrazione data a lezione è presa dal libro di Bertsch Dal Passo a pag. 213 Teorema 5.16. Definizione di uniforme continuità. Teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione). Dimostrazione del Teorema di Heine-Cantor. Enunciato del teorema: f:[a,+infinito) ->R uniformemente continua. Allora esistono due costanti positive a,b, tali che |f(x)| =< a|x| +b. Enunciato del teorema: f:[a,+infinito) ->R continua. Se è vera una delle seguenti tre condizioni 1) f ha un asintoto orizzontale oppure obliquo 2) la derivata di f (qualora f sia derivabile) è uniformemente limitata. 3) f è periodica allora f è unirormemente continua.